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MECCANICA CLASSICA
Meccanica del continuo

Il bilancio di energia interna, costituisce il primo principio della termodinamica, uno dei punti di partenza fondamentali della teoria della termodinamica.

Nella forma più generale e semplice, esso si enuncia dicendo che le due cause di variazione della temperatura di un corpo continuo sono lo scambio termico con l'esterno e lo svolgimento di un lavoro termodinamico.

StoriaModifica

File:Joule's Apparatus (Harper's Scan).png

L'equivalenza tra lavoro e calore fu dimostrata da Joule attraverso una serie di esperimenti verso la metà del 1800. Schematicamente, le varie esperienze avevano lo scopo di realizzare un aumento della temperatura di una certa quantità d'acqua con procedimenti diversi. In uno si questi, si trasferisce energia meccanica al sistema mediante la caduta di un peso. Il peso è accoppiato meccanicamente ad un albero alto verticale tramite una corda che lo avvolge nella sua parte superiore mentre nella parte inferiore sono infisse delle pale, disposte a raggiera, con i loro piani paralleli all'asse di rotazione dell'albero. Le pale sono immerse in un liquido contenuto in un recipiente adiabatico. Risultato dell'esperienza è l'aumento della temperatura del liquido, ovvero della sua energia interna U. Si dimostra così che l'energia potenziale del peso, in caduta frenata dal liquido che si oppone alla sua variazione di quiete, mediante la rotazione delle pale, si trasferisce in buona parte al liquido frenante aumentandone la temperatura, e sviluppando un lavoro termico. Il primo principio della termodinamica oggi si giustificaanche su base statistica come equazione di bilancio dell'energia interna derivabile da un'equazione del traporto lineare come quella di Boltzmann.

Derivazione trasportistica Modifica

20px Per approfondire, vedi Equazione di Boltzmann#Approssimazione del continuo.

Effettuando il prodotto tensoriale di una equazione del trasporto di tipo lineare come quella di Boltzmann[1], in forma euleriana:

 \frac {\partial n}{\partial t} + \bar v \cdot \frac {\partial n}{\partial \bar r} + \bar F \cdot \frac {\partial n}{\partial \bar p} - Q_2 \, n(\bar r,\bar p, \bar t) = 0

per la varianza della velocità (microscopica) del sistema rispetto alla velocità macroscopica, che dipende da tutte le coordinate generalizzate[2]:

 \frac 1 2 |\bar v- \langle \bar v \rangle (\bar r,t)|^2

ed integrandola nel momento coniugato in modo che vi rimanga solo la dipendenza dalla posizione coniugata:

\frac 1 2 \int \frac {\partial n}{\partial t} (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp + \frac 1 2 \int \frac {\partial n}{\partial \bar r} \cdot \bar v (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp + \bar F \cdot \frac 1 2 \int \frac {\partial n}{\partial \bar p} (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp - \frac 1 2 \int Q_2 \, n(\bar r,\bar p, \bar t) (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp = 0

si verifica che il termine dinamico è nullo[2]:

\bar F \cdot \int \frac {\partial n}{\partial \bar p} (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp = 0

e anche il termine collisionale è nullo, se vale la conservazione dell'energia cinetica in ogni collisione binaria[2]:

\int Q_2 n(\bar r,\bar p, t) (\bar v- \langle \bar v \rangle)^2 \operatorname dp = 0

in base alla definizione della densità nello spazio delle configurazioni come[3]:

\rho (\bar r, t)=\int n(\bar r,\bar p, t) \operatorname dp,

del tensore degli sforzi interni come[4]:

\bar \bar \sigma (\bar r, t) = \int (\bar v -  \langle \bar v \rangle) (\bar v -  \langle \bar v \rangle) n \operatorname dp

e l'operatore integrale della media nello spazio dei momenti "< >"[1]:

\langle \cdot \rangle=\frac{\int n \, \cdot \, \operatorname dp}{\int n \, \operatorname dp},

coerenti con la legge di conservazione della massa[2] e col bilancio della quantità di moto[2], si introducono le definizioni nuove di densità di corrente termica[2]:

\frac 1 2 \int n(\bar r,\bar p, t) (\bar v- \langle \bar v \rangle)^3 \operatorname dp = \bar q (\bar r, t),

e del tensore di deformazione:

\frac 1 2 \left( \frac {\partial \langle v_i \rangle}{\partial r_j} + \frac {\partial \langle v_j \rangle}{\partial r_i} \right) = \epsilon_{ij} (\bar r, t),

sfruttando il due bilanci già citati, si ottiene il terzo bilancio di energia interna in forma differenziale[2]:

\frac{\partial \rho \langle v^2\rangle}{\partial t} + \frac {\partial}{\partial \bar r} \cdot (\rho \langle \bar v \rangle \langle v^2\rangle) + \frac {\partial}{\partial \bar r} \cdot \bar q + \bar \bar \sigma : \bar \bar \epsilon= 0

Si noti che l'equazione coinvolge la variabile velocità quadratica media nello spazio delle configurazioni, detta usualmente energia interna specifica, in cui l'equazione risulta iperbolica, applicando la regola di Leibnitz:

\frac{\partial \langle v^2\rangle}{\partial t} + \langle \bar v \rangle \cdot \frac{\partial \langle v^2\rangle}{\partial \bar r} + \frac {2}{3\rho} \frac{\partial }{\partial \bar r} \cdot \bar q + \frac {2}{3\rho} \bar \bar \sigma : \bar \bar \epsilon = 0

Ovvero, introducendo la definizione nuova di temperatura[2], di calore specifico isocoro, e scomponendo la tensione in pressione e sforzo di taglio:

\frac{\partial T}{\partial t} + \langle \bar v \rangle \cdot \frac{\partial T}{\partial \bar r} + \frac 1 {\rho \varsigma_V} \frac{\partial }{\partial \bar r} \cdot \bar q + \frac {\bar \bar \tau}{\rho \varsigma_V} : \frac{\partial \langle \bar v \rangle}{\partial \bar r} + \frac {p}{\rho \varsigma_V} \frac{\partial}{\partial \bar r} \cdot \langle \bar v \rangle= 0

si noti che il prodotto della velocità macroscopica per il gradiente di temperatura è il termine di convezione termica, il termine con la divergenza della densità di corrente termica è il termine di conduzione termica il termine con il prodotto di saturazione fra taglio e deformazione è il termine di dissipazione, il termine con il prodotto pressione - deformazione scalare[5] è il lavoro termodinamico.

Forma eulerianaModifica

Si indicherà ora la derivata nella coordinata generalizzata sarà indicata conformemente alla consuetudine fluidodinamica col simbolo nabla:

\rho \varsigma_V \frac{\partial T}{\partial t} + \rho \varsigma_V \langle \bar v \rangle \cdot \nabla T + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

utilizzando la regola di Leibniz:

\frac{\partial \rho \varsigma_V T}{\partial t} + \rho \varsigma_V \langle \bar v \rangle \cdot \nabla T - \frac{\partial \rho}{\partial t} \varsigma_V T + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

e sfruttando la conservazione della massa:

\frac{\partial \rho \varsigma_V T}{\partial t} + \rho \varsigma_V \langle \bar v \rangle \cdot \nabla T + \nabla \cdot (\rho \langle \bar v \rangle ) \,\varsigma_V T + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

quindi si possono riassumere due termini:

\frac{\partial \rho \varsigma_V T}{\partial t} + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \left(\bar q + \rho \varsigma_V \langle \bar v \rangle T \right)+ p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

Quindi, in forma euleriana applicando il teorema della divergenza, e il teorema di Reynolds all'integrale di corrente termica di conduzione e convezione:

 \frac{\partial}{\partial t} \int_{M(t)} \varsigma_V T \operatorname dm + \int_{V} \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle \operatorname dr + \oint_{\partial V} \left( \bar q + \rho \varsigma_V \langle \bar v \rangle T \right)\cdot \operatorname d \bar {r^2} + \int_{\epsilon V} p \operatorname d (\epsilon r) = 0

si definiscono quindi l'energia interna, la dissipazione, lo scambio termico per conduzione e per convezione, e il lavoro termodinamico:

 \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{\partial D}{\partial t} - I_Q - I_U + \frac{\partial W}{\partial t} = 0

se si riassumono i termini di potenza termica:

 \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial W}{\partial t} = 0

Integrando sull'intervallo di tempo di riferimento si ottiene il bilancio euleriano in un intervallo di tempo finito:

 \Delta U = Q \, - \, W

Il primo principio della termodinamica per un corpo continuo in un sistema di riferimento euleriano può essere quindi enunciato come segue:

« l'aumento, nel tempo, dell'energia interna in un volume di controllo è pari al flusso netto di scambio termico dall'esterno attraverso la superficie che lo delimita meno la dissipazione meccanica al suo interno. »

Forma lagrangiana Modifica

Introducendo la derivata lagrangiana[6]:

\varsigma_V \frac{DT}{Dt} + \frac {\bar \bar \tau}{\rho} : \nabla \langle \bar v \rangle +\frac 1 \rho \nabla \cdot \bar q + \frac p \rho \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

sfruttando la regola di Leibnitz:

\frac{D \rho \varsigma_V T}{Dt} - \frac{D \rho}{Dt} \varsigma_V T + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

e sfruttando la conservazione della massa:

\frac{D \rho \varsigma_V T}{Dt} + \rho \varsigma_V T \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

quindi si può definire un nuovo tipo di lavoro comprensivo del lavoro termodinamico, la metalpia:

\frac{D \rho \varsigma_V T}{Dt} + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + (p + \rho \varsigma_V T) \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

cioè definendo l'entalpia specifica, il lavoro di passaggio alla frontiera della corrente entalpica:

\frac{D \rho \varsigma_V T}{Dt} + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + \rho h \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

Quindi integrando sulla massa di controllo e applicando il teorema della divergenza, e il teorema di Reynolds di corrente termica:

 \frac{D}{Dt} \int_{M} \varsigma_V T \operatorname dm + \int_V \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle \operatorname dr + \oint_{\partial V} \bar q \cdot \operatorname d \bar {r^2} + \int_{\epsilon M} h \operatorname d {\epsilon m}= 0

in base alla definizione di energia interna, dissipazione, corrente di conduzione, e lavoro isoentropico, si riassume il bilancio in:

 \frac{DU}{Dt} - \frac{\partial D}{\partial t} - I_Q + \frac{D I_H}{Dt} = 0

Integrando sull'intervallo di tempo di riferimento si ottiene il bilancio lagrangiano in un intervallo di tempo finito:

 \Delta U =  \,Q - \, I_H

Il primo principio della termodinamica per un corpo continuo in un sistema di riferimento lagrangiano può essere quindi enunciato come segue:

« l'aumento, nel tempo, dell'energia interna in una massa di controllo è pari al calore di dissipazione e conduzione dall'esterno attraverso la superficie che lo delimita meno il calo di metalpia. »

Forma entalpicaModifica

20px Per approfondire, vedi Bilancio di entalpia.

Definendo l'entalpia specifica come:

h = \langle v^2 \rangle + \frac p \rho = \varsigma_V T + \frac p \rho

si riesprime il primo principio in forma locale come:

\rho \frac{D}{Dt} \left(h-\frac p \rho \right) +  \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0

ovvero, svolgendo le derivate lagrangiane:

\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{Dp}{Dt} + \frac p \rho \frac{D\rho}{Dt} + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle = 0

e utilizzando la conservazione della massa in forma locale:

\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{Dp}{Dt} - p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle + p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle = 0

ovvero[7]:

\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{Dp}{Dt} + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \nabla \langle \bar v \rangle = 0

In termini macroscopici:

\operatorname dH = \delta Q + (p \operatorname dV - \delta W) + V \operatorname dp - \operatorname d \frac {N_i}{\mu_i}

Il termine tra parentesi (cambiato di segno) rappresenta il lavoro utile[8]  pdV - \delta W scambiato dal sistema, il principio diventa:

\operatorname d H =  \delta Q + V \operatorname dp,

ragion per cui in una trasformazione isocora e in una trasformazione isobara rispettivamente il primo principio si riduce a:

\operatorname dU = \delta Q
\operatorname dH = \delta Q

Prima approssimazione Modifica

Se si approssima la conduzione con la legge di Fourier, si ottiene un'equazione parabolica nella temperatura, detta equazione di diffusione-avvezione-reazione, più complicata di quella di reazione-diffusione:

\frac {\partial T}{\partial t} - \bar \bar d_T \nabla^2T + \bar c_T \cdot \nabla T + f_T T + e_T= 0

dove:

Bisogna evidenziare che solo il termine di sorgente è influenzato dai campi di accelerazioni imposti sul sistema; nel caso in cui questi siano di natura puramente elettromagnetica ad esempio il termine di sorgente diventa inserendo l'accelerazione di Lorentz:

e_T= \frac {1}{2 \varsigma_v} \frac {D}{Dt} \left(\langle \bar v \rangle \right)^2 + \frac {\bar \bar \sigma}{\rho} : \nabla \langle \bar v \rangle + \dfrac{1}{\rho \varsigma_v c^2} \dfrac{\partial \bar S}{\partial t} \cdot \langle \bar v \rangle - \frac 1 {\rho \varsigma_v} \nabla\cdot\bar \bar F \cdot \langle \bar v \rangle

dove c è la velocità della luce nel vuoto, \bar S è il vettore di Poynting, e \bar \bar F è il tensore elettromagnetico.

In termini euleriani il bilancio si esplicita in:

\frac {\partial U(T)}{\partial t} + I_T(T) + W = 0

esplicitando rispettivamente energia interna, corrente termica e sorgente termica (meccanica, elettromagnetica, ecc.):

I(T) = \oint_{\partial V} (\rho \varsigma_v \langle \bar v \rangle T - \bar \bar \lambda \cdot \nabla T )\cdot {\operatorname d \bar r^2} = \oint_{\partial V} \rho \varsigma_v \left( \langle \bar v \rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) \cdot {\operatorname d \bar r^2},
W = \oint_{\partial V} \bar \bar \sigma \cdot \langle \bar v \rangle \cdot {\operatorname d \bar r^2}

si ottiene:

\int_V \rho \varsigma_v \frac {\partial T}{\partial t} + \frac {\partial (\rho \varsigma_v) }{\partial t} T \operatorname dr^3 + \oint_{\partial V} \left(\rho \varsigma_v \bar \bar d_T \cdot \nabla T - \rho \varsigma_v \langle \bar v \rangle T + \bar \bar \sigma \cdot \langle \bar v \rangle\right) \cdot {\operatorname d \bar r^2} = 0

dove ρ è la densità, ςV il calore specifico isocoro, T la temperatura, λ il tensore[9] di conducibilità termica e dT il tensore di diffusività termica. \langle \bar v \rangle è la velocità media e \operatorname dr^3 il differenziale del volume totale finito V di frontiera \partial V, e la tensione \bar \bar \sigma agisce sul differenziale di superficie orientato \bar {\operatorname dr^2}[10]. In base al teorema della divergenza gli scambi sono riscrivibili nel solo volume:

I(T) = \int_V \nabla (\rho \varsigma_v) \cdot \left(\langle \bar v \rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) + \rho \varsigma_v \nabla \cdot \left(\langle \bar v \rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) \operatorname dr^3 =
 \qquad = \int_V - \rho \varsigma_v \bar \bar d_T \nabla^2 T + \left( \rho \varsigma_v \langle \bar v \rangle - \rho \varsigma_v \nabla \cdot \bar \bar d_T - \nabla (\rho \varsigma_v) \cdot \bar \bar d_T \right) \cdot \nabla T + \left( \nabla (\rho \varsigma_v) + \rho \varsigma_v \nabla \right) \cdot \langle \bar v \rangle T \operatorname dr^3 ,
S = \int_V \nabla \cdot \left( \bar \bar \sigma \cdot \langle \bar v \rangle \right) \operatorname dr^3 = \int_V \left(\nabla \cdot \bar \bar \sigma \cdot \, + \bar \bar \sigma : \nabla \right) \langle \bar v \rangle \operatorname dr^3 = \int_V \bar \bar \sigma : \nabla \langle \bar v \rangle - \frac 12 \rho \frac {D}{Dt} \left(\langle \bar v \rangle \right)^2 \operatorname dr^3[11]

dove i : indicano il prodotto di saturazione. Il secondo termine integrale di sorgente termica corrisponde alla potenza cinetica, il primo termine alla potenza deformante, il cui integrando è detto scalare dissipazione e \nabla \langle \bar v \rangle = \frac {D \bar \bar \epsilon}{Dt} viene definito tensore rateo di deformazione.

Note Modifica

  1. 1,0 1,1 Duderstadt et al., op. cit., pp. 218
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 Duderstadt et al., op. cit., pp. 255
  3. Duderstadt et al., op. cit., pp. 253
  4. Duderstadt et al., op. cit., pp. 254
  5. \epsilon = \bar \bar \epsilon : \bar \bar 1
  6. Todreas et al., op. cit., pp. 107, eq. 4-96
  7. Todreas et al., op. cit., pp. 110, eq. 4-105
  8. non modifica il volume del sistema: non è presente solo per isocore
  9. ogni tensore di questa trattazione è del secondo ordine, ovvero corrisponde a una matrice
  10. ha per modulo il differenziale di superficie e direzione normale alla stessa
  11. l'ultima uguaglianza vale in base al bilancio lagrangiano della quantità di moto:
     \nabla \cdot \bar \bar \sigma = \rho \langle \frac {\partial P}{\partial \bar p} \rangle - \rho \frac{D \langle \bar v \rangle}{Dt}

Bibliografia Modifica

  • (in inglese) James J. Duderstadt; William R. Martin, Transport theory, New York, Wiley-Interscience Publications, 1979. ISBN 978-0471044925, cap. 4: The derivation of continuum description from trasport equations
  • (in inglese) Neil E. Todreas; Mujid S. Kazimi, Nuclear Systems, New York, Taylor & Francis, 1990. ISBN 978-1560320517, vol. 1: Thermal Hydraulic Fundamentals, cap. 4: Trasport equations for single-phase flow

Voci correlate Modifica

Fonti Modifica



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